5.1 Introducción a las transformaciones lineales. Definición: Las transformaciones lineales son las funciones y tratan sobre K-espacios vectoriales que son compatibles con la estructura (es decir, con la operación y la acción) de estos espacios. Aquí se presentan las funciones entre espacios vectoriales que preservan las cualidades de los espacios vectoriales. Es decir, de funciones que preservan la suma y la multiplicación por escalares. Nosotros usaremos el concepto de la función para darle un tratamiento a los sistemas de ecuaciones lineales. La restricción que haremos sera sobre el tipo de funciones: solo estaremos interesados en funciones que preserven las operaciones en el espacio vectorial. Este tipo de funciones serán llamadas funciones lineales. Primeramente las definiremos, veremos algunas propiedades generales y después veremos como se aplican estos resultados a sistemas de ecuaciones. Sean V y W dos espacios vectoriales posiblemente iguales. Una transformació...
5.2 Núcleo e imagen de una transformación lineal. Teorema 1 Sea T : V S W una transformaci ó n lineal. Entonces para todos los vectores u , v , v 1 , v 2 , . . . , v n en V y todos los escalares a 1 , a 2 , . . . , a n : i. T ( 0 ) = 0 ii. T ( u - v ) = T u - T v iii. T ( a 1 v 1 + a 2 v 2 + . . . + a n v n ) = a 1 T v 1 + a 2 T v 2 + . . . + a n T v n Nota. En la parte i ) el 0 de la izquierda es el vector cero en V ; mientras que el 0 de la derecha es el vector cero en W. Teorema 2 Sea V un espacio vectorial de dimensi ó n finita con base B = { v 1 , v 2 , . . . , v n }. Sean w 1 , w 2 , . . . , w n vectores en W . Suponga que T 1 y...