Unidad 5: Transformaciones Lineales

5.1 Introducción a las transformaciones lineales. Definición: Las transformaciones lineales son las funciones y tratan sobre K-espacios vectoriales que son compatibles con la estructura (es decir, con la operación y la acción) de estos espacios. Aquí se presentan las funciones entre espacios vectoriales que preservan las cualidades de los espacios vectoriales. Es decir, de funciones que preservan la suma y la multiplicación por escalares. Nosotros usaremos el concepto de la función para darle un tratamiento a los sistemas de ecuaciones lineales. La restricción que haremos sera sobre el tipo de funciones: solo estaremos interesados en funciones que preserven las operaciones en el espacio vectorial. Este tipo de funciones serán llamadas funciones lineales. Primeramente las definiremos, veremos algunas propiedades generales y después veremos como se aplican estos resultados a sistemas de ecuaciones. Sean V y W dos espacios vectoriales posiblemente iguales.  Una transformació...

5.2 Núcleo e imagen de una transformación lineal. Teorema  1 Sea  T :  V  S  W  una transformaci ó n lineal. Entonces para todos los vectores  u ,  v ,  v 1 , v 2 , . . . ,  v n  en  V  y todos los escalares  a 1 ,  a 2 , . . . ,  a n : i.  T ( 0 )  =  0 ii.  T ( u  -  v )  =  T u  -  T v iii.  T ( a 1 v 1  + a 2 v 2  + . . . + a n v n )  = a 1 T v 1  + a 2 T v 2  + . . . + a n T v n Nota.  En la parte  i ) el  0  de la izquierda es el vector cero en  V ; mientras que el  0  de la derecha es el vector cero en  W. Teorema 2 Sea  V  un espacio vectorial de dimensi ó n finita con base  B  =  { v 1 ,  v 2 , . . . ,  v n }. Sean  w 1 , w 2 , . . . ,  w n  vectores en  W . Suponga que  T 1  y...

5.3 Representación  Matricial de una Transformación Lineal

5.4 Aplicación de las transformaciones lineales Aplicación de las transformaciones lineales: reflexión, expansión, contracción y rotación Graficar un conjunto de puntos en otro es lo que se conoce como transformación lineal de un conjunto de puntos. Existen ciertas propiedades básicas de las transformaciones lineales, las cuales si son tomadas en cuenta y aplicadas al momento de resolver un problema, pueden reducirlo un problema simple. La notación general utilizada para una transformación lineal es T: Rn Transformaciones lineales Las transformaciones lineales forman un “hilo” que se entreteje en la tela de este texto. Su utilización mejora el sentido geométrico de lo escrito. Por ejemplo, en el capítulo 1, las transformaciones lineales proporcionan una visión dinámica y gráfica de la multiplicación matriz-vector. 1. Reflexión: Cuando un conjunto de puntos dados es graficado desde el espacio euclidiano de entrada a otro de manera tal que este es isométrico al espacio eucl...